Для того чтобы квадратное уравнение имело корни различных знаков, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля.

Дискриминант квадратного уравнения равен: [tex]\Delta = (2(a^{2}-4))^{2} - 4(3-a)(1-a)[/tex]

Раскроем скобки и упростим выражение:

[tex]\Delta = 4(a^{4}-8a^{2}+16) - 4(3-a)(1-a)[/tex]

[tex]\Delta = 4a^{4}-32a^{2}+64 - 4(3-a)(1-a)[/tex]

[tex]\Delta = 4a^{4}-32a^{2}+64 - 4(3-a+a-a^{2})[/tex]

[tex]\Delta = 4a^{4}-32a^{2}+64 - 4(3-a^{2})[/tex]

[tex]\Delta = 4a^{4}-32a^{2}+64 - 12 + 4a^{2}[/tex]

[tex]\Delta = 4a^{4}-28a^{2}+52[/tex]

Дискриминант должен быть больше нуля:

[tex]4a^{4}-28a^{2}+52 > 0[/tex]

Проведем анализ этого неравенства:

Решаем квадратное уравнение: [tex]4a^{4}-28a^{2}+52 = 0[/tex]

Получаем корни: a1≈1.36, a2≈-1.36, a3≈0.66, a4≈-0.66

Рассматриваем интервалы: (-∞;-1.36), (-1.36;0.66), (0.66;1.36), (1.36;+∞)

Подставим в интервалы любое значение и убедимся, что дискриминант положителен.

На интервале (-∞;-1.36) дискриминант положителен.

На интервале (-1.36;0.66) дискриминант положителен.

На интервале (0.66;1.36) дискриминант положителен.

На интервале (1.36;+∞) дискриминант положителен.

Итак, уравнение имеет корни различных знаков при любом значении a.