Докажите, что если a, b, c, d - положительные числа, то [tex]\frac{a+c}{2} +\frac{b+d}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]
Докажите, что если a, b, c, d - положительные числа, то [tex]\frac{a+c}{2} +\frac{b+d}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что данное неравенство эквивалентно следующему:
tex(b+d)\geq 2\sqrt{(a+b)(c+d)}\cdot2\sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]
Или
tex(b+d)\geq 4(a+b)(c+d)[/tex]
Рассмотрим левую часть последнего неравенства:
tex(b+d)=ab+ad+bc+cd[/tex]
А правую часть:
[tex]4(a+b)(c+d)=4(ac+ad+bc+bd)[/tex]
Таким образом, нам нужно доказать, что:
[tex]ab+ad+bc+cd\geq 4ac+4ad+4bc+4bd[/tex]
Разделим обе части на 2:
[tex]\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\geq 2ac+2ad+2bc+2bd[/tex]
Получаем:
tex(b+d)\geq 4(a+b)(c+d)[/tex]
Что и требовалось доказать.