Воспользуемся методом нечетизатации (необходимым, но не достаточным условием). Обозначим x = 2a, x+1 = 2b (т.е. x четно), тогда подставим:

(2a)^2 + (2b)^2 - 7y^2 = 2007
4a^2 + 4b^2 - 7y^2 = 2007

Так как 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2) - четное, то 7y^2 = 2007 + четное = 2007 + четное = нечетное.

Значит либо 7 равночетное и y не является целым числом, либо 7 - нечетное и y - нечётно.

Таким образом, целые числа x и y, удовлетворяющие данному уравнению, не существуют.