Дано: sina + sinb = sqrt(2) * cos(a-b/2)

Мы знаем, что sin(a+b) = sinacosb + cosasinb и cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

Используем формулу для суммы углов:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
cos(a-b) = cosacosb - sinasinb

Из данного уравнения sina + sinb = sqrt(2) * cos(a-b/2) мы видим, что a+b = a-b/2
Следовательно, b = -3a/2

Также из уравнения sina + sinb = sqrt(2) cos(a-b/2) мы можем выразить cos(a-b/2) через sin a и sin b:
sqrt(2) cos(a-b/2) = sina + sinb
sqrt(2) cos(a-b/2) = sina + sin(-3a/2)
sqrt(2) cos(a-b/2) = sina - sin(3a/2)

Используем формулу для разности углов sin(a-b):
sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
sin(3a/2) = sin(2a/2 - a/2) = sin(2a/2)cosa/2 - cos(2a/2)sina/2
sin(3a/2) = 2sinacosa - 2cosasina
sin(3a/2) = 0

Таким образом имеем:
sqrt(2) cos(a-b/2) = sina
sqrt(2) cos(a+b) = sina

Данное уравнение выполняется тогда и только тогда, когда a+b = 45° и sin(a+b) = 1

Следовательно, наибольший угол треугольника равен 45°.