Для решения этой задачи необходимо найти значения функции f(x) на границах интервала [1;4] и в критической точке.

На границах интервала:

для x = 1: f(1) = 31^2 - 121 + 1 = 3 - 12 + 1 = -8для x = 4: f(4) = 34^2 - 124 + 1 = 48 - 48 + 1 = 1

Найдем критическую точку, где производная функции равна нулю:
f'(x) = 6x - 12
6x - 12 = 0
6x = 12
x = 2

Подставляем x = 2 в функцию:
f(2) = 32^2 - 122 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11

Сравниваем найденные значения:
f(1) = -8
f(2) = -11
f(4) = 1

Наименьшее значение функции f(x)=3х^2-12х+1 на промежутке [1;4] равно -11.