Исходная система уравнений:
1) x1 + 2x2 - x3 = 2
2) 2x1 - x2 + x3 = 2
3) x1 - x2 - 2x3 = -2

Решение:
Выразим x1 из второго уравнения и подставим его в первое и третье уравнения:
2x1 = x2 - x3 + 2
x1 = (1/2)x2 - (1/2)x3 + 1
Подставляем x1 в первое уравнение:
(1/2)x2 - (1/2)x3 + 1 + 2x2 - x3 = 2
(5/2)x2 - (3/2)x3 = 1
Умножаем оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
5x2 - 3x3 = 2
Подставляем x1 в третье уравнение:
(1/2)x2 - (1/2)x3 + 1 - x2 + x3 = -2
(-1/2)x2 + (1/2)x3 = -3
Умножаем оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
-x2 + x3 = -6

Получили систему уравнений:
1) 5x2 - 3x3 = 2
2) -x2 + x3 = -6

Далее можно решить данную систему уравнений методом подстановки или методом Крамера.