Для начала заметим, что каждый из слагаемых [x^2003], [x^2002], ..., [x^2], [x] является целым числом вида k, где k <= x < k+1. Тогда можно записать это уравнение в виде:

x^2003 = k_1 + (x - k_1) = k_2 + (x - k_2) = ... = k_n + (x - k_n),

где k_1, k_2, ..., k_n - целые числа.

Так как x является действительным числом, то x^2003 = x, и получаем:

x = k_1 + (x - k_1) = k_2 + (x - k_2) = ... = k_n + (x - k_n).

Это уравнение можно переписать в виде:

x = k_1 = k_2 = ... = k_n.

Таким образом, мы можем упростить исходное уравнение:

[x] + [x^2] + ... + [x^2003] = x - 1,

x + x^2 + ... + x^2003 = x - 1,

x*(1 + x + x^2 + ... + x^2002) = x - 1,

x*(x^2003 - 1)/(x - 1) = x - 1,

x^2003 - 1 = x*(x - 1),

x^2003 - x = x^2 - x,

x(x^2002 - 1) = x(x - 1),

x^2002 - 1 = x - 1,

x^2002 = x,

так как x > 0, то x = 1.

Подставляем x = 1 в исходное уравнение:

[1] + [1^2] + ... + [1^2003] = 1 - 1,

1 + 1 + ... + 1 = 0,

2003 = 0.

Таким образом, уравнение [x^2003] + [x^2002] + ... + [x^2] + [x] = {x} - 1 не имеет решений.