Для функции [tex]f(x)=\sqrt{16-x^{2}} + \frac{5}{x-4}[/tex] область определения определяется следующим образом:

Из-за возможности извлечения квадратного корня из числа, под корнем должно быть неотрицательное число, поэтому [tex]16-x^{2} \geq 0[/tex]. Решим это неравенство:

[tex]16-x^{2} \geq 0[/tex]

[tex]x^{2} \leq 16[/tex]

[tex]-4 \leq x \leq 4[/tex]

Таким образом, область определения для корня равна [-4, 4].

Для дробного выражения [tex]\frac{5}{x-4}[/tex], знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому [tex]x-4 \neq 0[/tex]. Решим это неравенство:

[tex]x-4 \neq 0[/tex]

[tex]x \neq 4[/tex]

Таким образом, область определения для дробного выражения [tex]\frac{5}{x-4}[/tex] равна [tex]x \neq 4[/tex].

Таким образом, общая область определения функции [tex]f(x)=\sqrt{16-x^{2}} + \frac{5}{x-4}[/tex] равна [-4, 4) U (4, +∞).