Для доказательства этого утверждения рассмотрим несколько случаев:

Пусть все три числа являются четными. Тогда их квадраты также будут четными, следовательно их сумма будет кратна 4. Однако число вида 8n+7 не делится на 4, поэтому не может быть представлено в виде суммы квадратов трех четных чисел.

Пусть два числа являются четными, а третье нечетным. Тогда их квадраты будут иметь вид 4m^2, 4n^2 и (2k+1)^2, где m, n и k - целые числа. Сумма этих квадратов будет иметь вид 4m^2 + 4n^2 + 4k^2 + 4k + 1 = 4(m^2 + n^2 + k^2 + k) + 1, которая не может быть равна числу вида 8n+7.

Пусть все три числа являются нечетными. Тогда их квадраты будут иметь вид (2m+1)^2, (2n+1)^2 и (2k+1)^2. Сумма этих квадратов будет иметь вид 4m^2 + 4n^2 + 4k^2 + 4m + 4n + 4k + 3 = 4(m^2 + n^2 + k^2 + m + n + k) + 3, которая также не может быть равна числу вида 8n+7.

Таким образом, число вида 8n+7 не может быть представлено в виде суммы квадратов трех целых чисел.