Для нахождения наибольшей площади полной поверхности цилиндра вписанного в сферу радиуса R нужно найти такие размеры этого цилиндра, при которых его площадь будет максимальной.

Пусть высота цилиндра h, радиус основания цилиндра r, диаметр цилиндра d.

Известно, что одна из боковых поверхностей цилиндра является причасток к сфере радиуса R, то есть h = 2r (для равенства площадей: s(cil) = s(sph)).

Также известно, что диаметр цилиндра равен диаметру сферы: d = 2R.

Площадь полной поверхности цилиндра s(cil) = 2πr(h + r).

После данных замен s(cil) = 4πr^2. Теперь нужно найти производную площади по радиусу s'(cil) = 4π * 2r = 8πr.

Далее, равняем полученное выражение к нулю для нахождения максимума: 8πr = 0 => r = 0.

Полученное решение для радиуса цилиндра означает, что площадь сферы равна нулю, что является ошибкой в решении данной задачи. Давайте рассмотрим правильное решение.

Учитывая, что мы имеем дело с цилиндром, вписанным в сферу, радиус которого равен R, площадь полной поверхности цилиндра будет максимальной, когда его высота h равна диаметру сферы: h = 2R, а радиус основания r равен R: r = R.

Таким образом, наибольшая площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в сферу радиуса R, равна s(cil) = 2πRH + 2πR^2 = 2πR(2R + R) = 6πR^2.