Для того чтобы число (3^{2016} - 1) было кратно (2^n), оно должно быть представимо в виде (3^{2016} - 1 = 2^n \cdot k) для какого-то натурального числа k.

Рассмотрим остатки от деления (3^x) на 4:

(3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{4})(3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4})(3^3 = 27 \equiv 3 \pmod{4})(3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{4})

Таким образом, (3^x \equiv 1 \pmod{4}) при (x = 2k), т.е. только у четных степеней.

Посмотрим на (3^{2016} - 1):

(3^{2016} - 1 = (3^2)^{1008} - 1 = 1^{1008} - 1 = 0 \pmod{4}).

Таким образом, число (3^{2016} - 1) кратно 4.

Теперь найдем наибольшее натуральное число n такое, что (3^{2016} - 1) кратно (2^n):
(3^{2016} - 1 = 4 \cdot k).

Поскольку (3^{2016} - 1) кратно 4, то искомое n равняется (n = 2).

Итак, наибольшее натуральное число n, такое что (3^{2016} - 1) кратно (2^n), равно 2.