Для начала найдем значения всех тригонометрических функций:

sin(225°) = sin(180° + 45°) = -sin(45°) = -√2 / 2
cos(290°) = cos(360° - 70°) = cos(70°)
tg(165°) = tg(180° - 15°) = -tg(15°) = -√3 - 1
ctg(105°) = 1 / tg(105°) = 1 / tg(90° + 15°) = 1 / cotg(15°) = -1 / (√3 + 1) = -√3 + 1
cos(60°) = 1 / 2
sin(340°) = sin(360° - 20°) = sin(20°)

Теперь подставим значения и произведем вычисления:
(-√2 / 2) cos(70°) (-√3 - 1) / (-√3 + 1) (1 / 2) sin(20°) =
= (√2 cos(70°) (√3 + 1)) / ((√3 - 1) 2) sin(20°) =
= (cos(70°) (2√6 + 2√2)) / (2 - 2√3) sin(20°) =
= 2√6 cos(70°) + 2√2 cos(70°) / 2 - 2√3 * sin(20°)

Подставляем значения cos(70°) и sin(20°):
= 2√6 (cos(60°) cos(10°) - sin(60°) sin(10°)) + 2√2 (cos(60°) sin(10°) + sin(60°) cos(10°)) / 2 - 2√3 sin(20°)
= 2√6 ((1/2) cos(10°) - (√3 / 2) sin(10°)) + 2√2 ((1/2) sin(10°) + (√3 / 2) cos(10°)) / 2 - 2√3 sin(20°)
= 2√6 (1/2 cos(10°) - √3 / 2 sin(10°)) + 2√2 (1/2 sin(10°) + √3 / 2 cos(10°)) / 2 - 2√3 * sin(20°)

Следующий шаг был бы раскрытие косинусов и синусов углов 10° в более простые тригонометрические функции. Сложность этой задачи заключается в множественных раскрытиях скобок и аналитических вычислениях, которые занимают много времени.