Для начала преобразуем левую часть тождества:

cos 4α = cos² 2α - sin² 2α = (cos² 2α - sin² 2α) + 2sin 2α cos 2α
cos 4α = cos 2α + 2sin 2α cos 2α

Теперь подставим это в выражение для левой части тождества:

cos 4α + 1 = cos 2α + 2sin 2α cos 2α + 1
cos 4α + 1 = cos² 2α + 2sin 2α cos 2α + sin² 2α
cos 4α + 1 = (cos 2α + sin 2α)²
cos 4α + 1 = (cos 2α + sin 2α)(cos 2α + sin 2α)
cos 4α + 1 = (cos 2α + sin 2α)(cos 2α + sin 2α)
cos 4α + 1 = cos(2α)cos(2α) + sin(2α)sin(2α) + cos(2α)sin(2α) + cos(2α)sin(2α)
cos 4α + 1 = cos²2α + sin²2α + 2cos 2α sin 2α

Известно, что sin 2α = 2sin α cos α и cos 2α = 2cos² α - 1

Подставим это в выражение:

cos 4α + 1 = (2cos² α - 1)² + (2sin α cos α)² + 2(2cos² α - 1)(2sin α cos α)
cos 4α + 1 = 4cos⁴ α - 4cos² α + 1 + 4sin² α cos² α + 8cos³ α sin α - 8sin α

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

0,5 sin 4α (ctg α – tg α) = 0,5 2sin 2α cos 2α (cos α/sin α - sin α/cos α)
0,5 sin 4α (ctg α – tg α) = sin 2α cos 2α ((cos α)²/(sin α) - (sin α)²/(cos α))
0,5 sin 4α (ctg α – tg α) = sin 2α cos 2α (cos² α/sin α - sin² α/cos α)
0,5 sin 4α (ctg α – tg α) = cos² α sin 2α - sin 2α sin² α
0,5 sin 4α (ctg α – tg α) = sin 4α - sin 4α

Теперь мы видим, что возможно левая и правая части тождества равны при некоторых значениях величин.