Для того чтобы уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex] равен [tex]D=b^{2}-4ac[/tex].

В данном случае у нас есть уравнение

[tex]\frac{x^{2}+(3a-1)x+2a^{2}-2}{x^{2}-3x-4} =0[/tex]

и его дискриминант будет равен

[tex]D=(3a-1)^{2}-4(2a^{2}-2)(-3)=0[/tex]

tex^{2}-24a^{2}+24=0[/tex]

[tex]9a^{2}-6a+1-24a^{2}+24=0[/tex]

[tex]-15a^{2}-6a+25=0[/tex]

[tex]15a^{2}+6a-25=0[/tex]

Решая это квадратное уравнение, мы найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

[tex]a=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot15\cdot-25}}{2\cdot15}[/tex]

[tex]a=\frac{-6\pm\sqrt{36+1500}}{30}[/tex]

[tex]a=\frac{-6\pm\sqrt{1536}}{30}[/tex]

[tex]a=\frac{-6\pm39.19}{30}[/tex]

Таким образом, уравнение имеет единственное решение при значении параметра:

[tex]a_{1}=\frac{-6+39.19}{30}\approx0.11[/tex]

и

[tex]a_{2}=\frac{-6-39.19}{30}\approx-1.73[/tex]