Когда мы рассматриваем предел sin(x)/x при x → ∞, мы можем использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x)/g(x) равен бесконечности или неопределенности вида 0/0 или ∞/∞, то предел этой функции равен пределу производной функции f(x) по x и производной функции g(x) по x.

Производная sin(x) равна cos(x), а производная x равна 1. Поэтому при использовании правила Лопиталя предел sin(x)/x при x → ∞ равен пределу cos(x)/1 при x → ∞.

Так как косинусная функция колеблется между -1 и 1 для всех значений x, предел cos(x) при x → ∞ не сходится и не имеет фиксированного значения. Это означает, что предел sin(x)/x при x → ∞ равен 0.