На катете B C прямоугольного треугольника A B C ( ∠ B C A = 90 ° ) выбраны точки M и N так, что ∠ C A M = ∠ M A N = ∠ N A B . Прямая, проходящая через точку M , пересекает отрезки A N и A B в точках E и F соответственно. Найдите A E , если A B = 22 , ∠ A M N = 110 ° , ∠ A F M = 70 ° .
На катете B C прямоугольного треугольника A B C ( ∠ B C A = 90 ° ) выбраны точки M и N так, что ∠ C A M = ∠ M A N = ∠ N A B . Прямая, проходящая через точку M , пересекает отрезки A N и A B в точках E и F соответственно. Найдите A E , если A B = 22 , ∠ A M N = 110 ° , ∠ A F M = 70 ° .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что из условия треугольник ANM равнобедренный, так как ∠CAM = ∠MAN, и ∠ANM = ∠AMN = (180 - ∠CAM) / 2 = 45°. Так как ∠MAN = 110°, то ∠MAB = 25° и ∠CAN = 25°. Из равенства углов в треугольнике ANF получаем, что ∠FAN = 55°.
Теперь заметим, что треугольник NAF подобен треугольнику ECM по двум углам, так как ∠FAN = ∠ECM и ∠NAF = ∠EMC. Таким образом, мы имеем:
NA/NC = FA/EC, где NA = 22.
FA = NA sin(∠FAN) = 22 sin(55°) ≈ 18.08.
Теперь рассмотрим треугольник FAM. Из свойства синуса имеем:
AM/AF = sin(∠AFM) / sin(∠FAM)
AM = AF sin(∠FAM) / sin(∠AFM) = 18.08 sin(70°) / sin(25°) ≈ 34.57.
Теперь рассмотрим треугольник EAM:
AE/AM = sin(∠AEM) / sin(∠AME)
AE = AM sin(∠AEM) / sin(∠AME) = 34.57 sin(45°) / sin(25°) ≈ 49.16.
Итак, AE ≈ 49.16.