Докажем от противного.

Предположим, что последовательность xk является периодичной. То есть существует такое натуральное число T, что xk = x(k + T) для всех k.

Для удобства обозначим yk = sin(xk). Тогда у нас имеется следующая последовательность:

y1 = sin(x1) = sin(1)
y2 = sin(x2) = sin(2 sin(1) + 1)
...
yk = sin(xk) = sin(k sin(k-1 sin(k-2 ... sin(1)...)) + 1)

Из предположения о периодичности следует, что существует такое натуральное число T, что yk = y(k + T) для всех k.

Рассмотрим последовательность yk. Так как sin(x) принимает значения из отрезка [-1, 1] для любого x, то последовательность yk также ограничена и принимает значения из отрезка [-1, 1].

Теперь заметим, что последовательность yk не может быть периодичной. Предположим, что она периодична. Тогда она имеет конечное число различных элементов y1, y2, ..., yM. Но так как sin(x) принимает бесконечное множество значений, то наша последовательность yk не может быть периодичной, так как она принимает значения не из конечного множества.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что последовательность xk не является периодичной.