Для вычисления определенного интеграла ²₀∫ x(x²+2)² dx сначала нужно вычислить неопределенный интеграл и затем подставить верхнюю и нижнюю границы интегрирования.

Изначально выполним раскрытие скобок и упростим выражение:
(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4
Теперь выразим определенный интеграл:
²₀∫ (x^4 + 4x^2 + 4) dx

Вычислим интеграл по каждому члену:
∫x^4 dx = (1/5)x^5 + C₁
∫4x^2 dx = (4/3)x^3 + C₂
∫4 dx = 4x + C₃

Теперь выражение интеграла равно:
(1/5)x^5 + (4/3)x^3 + 4x + C

Теперь подставляем верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
= [(1/5)(2^5)-(1/5)(0^5)] + [(4/3)(2^3)-(4/3)(0^3)] + 4(2) - [(1/5)(0^5)] - [(4/3)(0^3)] - 4(0)

= (32/5) + (32/3) + 8
= 1472/15

Итак, значение определенного интеграла ²₀∫ x(x^2+2)^2 dx равно 1472/15.