Вектор AB = B - A = (-2 - 0) : (4 - 1) : (1 - 1) = (-2 : 3 : 0)
Модуль вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = √13

Вектор AC = C - A = (-2 - 0) : (1 - 1) : (7 - 1) = (-2 : 0 : 6)
Модуль вектора AC: |AC| = √((-2)^2 + 0^2 + 6^2) = √40 = 2√10

Вектор AD = D - A = (0 - 0) : (4 - 1) : (9 - 1) = (0 : 3 : 8)
Модуль вектора AD: |AD| = √(0^2 + 3^2 + 8^2) = √73

Косинус угла между векторами AB и AC вычисляется по формуле:
cos(θ) = (AB AC) / (|AB| |AC|)
где AB * AC - скалярное произведение векторов AB и AC

AB AC = (-2)(2) + (3)(0) + 0 = -4
|AB| |AC| = √13 * 2√10 = 2√130

cos(θ) = -4 / 2√130
θ ≈ arccos(-4 / 2√130) ≈ 108.43 градуса

Проекция вектора AD на вектор AB вычисляется по формуле:
proj_AB(AD) = (AD AB) / |AB|
где AD AB - скалярное произведение векторов AD и AB

AD AB = (0)(0) + (3)(3) + (8)(0) = 9
|AB| = √13

proj_AB(AD) = 9 / √13 = 9√13 / 13

Площадь грани ABC:
Площадь = 1/2 |AB| |AC| * sin(θ)
где θ - угол между векторами AB и AC (в радианах)

sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)) = √(1 - (-4 / 2√130)^2) = √(1 - 16 / 520) = √(504/520) = √126 / 20

Площадь = 1/2 √13 2√10 √126 / 20 = √(13 10 * 126) / 20 = √(16380) / 20 = 9√570 / 10

Объем пирамиды ABCD:
Объем = 1/3 S_ABC h
где S_ABC - площадь грани ABC, h - высота пирамиды

h = |AD| = √73

Объем = 1/3 9√570 / 10 √73 = 27√(570 * 73) / 30 = 27√(41610) / 30

Уравнение ребра AC:
Вектор AC: r = (0, 1, 1) + t(-2, 3, 6)
Уравнение: x = -2t, y = 1 + 3t, z = 1 + 6t

Уравнение грани ABC:
Найдем уравнение плоскости проходящей через точки A, B, C:
Уравнение: 2x + 3y + 6z = 11.