Для нахождения наименьшего значения данного выражения можно воспользоваться методом завершения квадрата или критерием квадратного трёхчлен:
9x^2 + 12xy + 4y^2 + 1 = (3x + 2y)^2 + 1

Таким образом, наименьшее значение данного выражения равно 1, которое достигается при x = 0, y = 0.