Для начала приведем обе стороны равенства к общему знаменателю. Правая часть равенства выглядит так:
tgx/tg2x = sinx/cosx cos2x/sin2x = sinxcos2x /cosxsin2x = sin2x / 2sinxcosx = cos2x/1 + cos2x

Следовательно, левая и правая части равенства совпадают и тождество доказано.