Для начала распишем левую часть данного тождества:

tgα tgβ + (tgα + tgβ)ctg(α+β) =
= tgα tgβ + tgα ctg(α+β) + tgβ ctg(α+β) =
= tgα (tgβ + ctg(α+β)) + tgβ ctg(α+β) =
= tgα (tgβ + 1/tg(α+β)) + tgβ 1/tg(α+β) =
= tgα (tgβtg(α+β) + 1) + tgβtg(α+β) =
= tgα (sin(β)cos(α+β)/cos(α+β) + 1) + sin(β) =
= tgα ((sin(β)cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))/cos(α+β) + 1) + sin(β) =
= tgα (sin(β)cos(α)cos(β)/cos(α+β) - sin(α)sin(β)/cos(α+β) + 1) + sin(β) =
= tgα sin(β)cos(α) - tgα sin(α)sin(β) + sin(β) + tgα =
= sin(α)cos(α)sin(β)/cos(α) - sin(α)sin(β)*sin(α)/cos(α) + sin(β) + tgα =
= sin(β) + tgα =
= sin(β) + sin(α)/cos(α) =
= sin(α + β) / cos(α) =
= tg(α + β), что и требовалось доказать.

Таким образом, тождество tgα * tgβ + (tgα + tgβ)ctg(α+β) = 1 выполняется.