Для начала найдем все целые решения данного неравенства.

Решим уравнение, полученное из равенства неравенства нулю:

(x^2+12x+36)(2x+19)/(x+2) = 0

(x+6)^2 * (2x+19) / (x+2) = 0

Приведем подобные и упростим выражение:

(x+6)^2 * (2x+19) = 0

Теперь получим целые решения данного уравнения:

x+6 = 0
x = -6

2x+19 = 0
2x = -19
x = -19/2

Таким образом, целые решения уравнения равны: x = -6, x = -9

Проверим знак неравенства в интервалах (-бесконечность, -9), (-9, -6), (-6, +бесконечность):

Возьмем число из интервала (-∞, -9), например, x = -10
(x^2+12x+36)(2x+19)/(x+2) = ((-10)^2 + 12(-10) + 36) (2(-10) + 19) / (-10 + 2) = (100 - 120 + 36) (-20 + 19) / (-8) = (16) * (-1) / (-8) = -2 < 0

Возьмем число из интервала (-9, -6), например, x = -7
(x^2+12x+36)(2x+19)/(x+2) = ((-7)^2 + 12(-7) + 36) (2(-7) + 19) / (-7 + 2) = (49 - 84 + 36) (-14 + 19) / (-5) = (1) * (5) / (-5) = -1 < 0

Возьмем число из интервала (-6, +∞), например, x = 0
(x^2+12x+36)(2x+19)/(x+2) = ((0)^2 + 12(0) + 36) (2(0) + 19) / (0 + 2) = (36) (19) / (2) = 342 > 0

Таким образом, неравенство (x^2+12x+36)(2x+19)/(x+2) < 0 выполняется на интервалах (-∞, -9) и (-9, -6).

Сумма целых решений неравенства равна -15 (сумма -9 и -6).