Уравнение: [tex] \frac{3 + x}{3x} = \sqrt{ \frac{1}{9} + \frac{1}{x} \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{2}{ {x}^{2} } } } [/tex]

Упростим:

1) Внутренние корни:

[tex] \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{2}{x^2} } = \sqrt{ \frac{4x^2 + 18}{9x^2} } = \sqrt{ \frac{4(x^2 + \frac{9}{2})}{9x^2} } = \sqrt{ \frac{4}{9} \cdot \frac{x^2 + \frac{9}{2}}{x^2} } = \frac{2}{3} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} [/tex]

2) Подсчитаем вторую скобку:

[tex] \frac{1}{9} + \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} = \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} [/tex]

3) Подставим это в исходное уравнение и решим:

[tex] \frac{3 + x}{3x} = \sqrt{ \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} } [/tex]

4) Возведем обе части уравнения в квадрат:

[tex] \left( \frac{3 + x}{3x} \right)^2 = \left( \sqrt{ \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} \sqrt{ 1 + \frac{9}{2x^2} } } \right)^2 [/tex]

[tex] \frac{(3 + x)^2}{9x^2} = \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2} } [/tex]

5) Раскроем квадраты:

[tex] \frac{9 + 6x + x^2}{9x^2} = \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2} } [/tex]

[tex] \frac{9 + 6x + x^2}{9x^2} = \frac{1}{9} + \frac{2}{3x} + \frac{2}{3x^2} \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2} } [/tex]

6) Упростим уравнение:

[tex] 9 + 6x + x^2 = x^2 + 9 + 2\sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} [/tex]

[tex] 6x = 2 \sqrt{1 + \frac{9}{2x^2}} [/tex]

7) Возведем обе части квадрат:

[tex] 36x^2 = 4(1 + \frac{9}{2x^2}) [/tex]

[tex] 36x^2 = 4 + 18/x^2 [/tex]

8) Умножим обе части на x^2:

[tex] 36x^4 = 4x^2 + 18 [/tex]

9) Получили квадратное уравнение:

[tex] 36x^4 - 4x^2 - 18 = 0 [/tex]

Получили квадратное уравнение. Решаем его с помощью формулы дискриминанта или другим способом.