Для начала найдем длину боковой стороны основания пирамиды. Пусть ее длина равна [tex] a [/tex], тогда радиус описанной окружности равен [tex] \frac{a}{2} [/tex].

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°, то треугольник, образованный боковым ребром, опущенной из вершины и половиной основания, - равносторонний. Значит, длина бокового ребра равна [tex] a [/tex].

Теперь можем найти высоту пирамиды, поделив боковое ребро на [tex] \sqrt{3} [/tex] (как высота равностороннего треугольника) и умножив на 2 (так как это половина основания, а нам нужна вся).

Высота пирамиды равна [tex] \frac{2a}{\sqrt{3}} [/tex].

Объем пирамиды равен [tex] \frac{1}{3} \cdot S{\text{основания}} \cdot h [/tex], где [tex] S{\text{основания}} [/tex] - площадь основания, [tex] h [/tex] - высота.

Площадь основания равна [tex] \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} [/tex].

Таким образом, объем пирамиды будет равен:

[tex] \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{a^3}{6} [/tex].

Исходя из условия, радиус описанной окружности равен [tex] \frac{a}{2} = \sqrt[3]{4} [/tex], откуда получаем [tex] a = 2\sqrt{2} [/tex].

Подставляем значение [tex] a = 2\sqrt{2} [/tex] в формулу объема и получаем:

[tex] V = \frac{(2\sqrt{2})^3}{6} = \frac{16\sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{3} [/tex].

Ответ: [tex] \frac{8\sqrt{2}}{3} [/tex].