Поскольку точка М лежит на линии, проходящей через центр квадрата и перпендикулярной его плоскости, то она делит сторону CD пополам.

Таким образом, DM = CD / 2.

Из теоремы Пифагора для треугольника ADM:
AM^2 + DM^2 = AD^2,

AM^2 + (CD/2)^2 = AD^2,
AM^2 + (CD/2)^2 = (4√2)^2,
AM^2 + (CD/2)^2 = 32.

Также, из теоремы Пифагора для треугольника AMO:
AM^2 + MO^2 = AO^2,
AM^2 + 2^2 = AO^2,
AM^2 + 4 = AO^2.

Подставим выражение для AM^2 в предыдущее уравнение:
AO^2 - 4 + (CD/2)^2 = 32,
AO^2 + (CD/2)^2 = 36.

Так как AO = AD = 4√2, то
(4√2)^2 + (CD/2)^2 = 36,
32 + (CD/2)^2 = 36,
(CD/2)^2 = 4,
CD/2 = 2,
CD = 4.

Теперь найдем DM:
DM = CD / 2 = 4 / 2 = 2 cm.

Итак, расстояние от точки М до вершины D составляет 2 см.