Используем подбор:

Пусть четырёхзначное число, кратное 19, имеет вид 1000a + 100b + 10c + d.

Учитывая условие, получаем уравнение:
a + b + c + d = a b c * d + 1.

Попробуем перебором найти такие числа:
1000 + 100 + 10 + 4 = 1000 100 10 * 4 + 1
1114 = 400001 + 1
1114 = 400002.

Таким образом, число 1114 удовлетворяет условию задачи.