Для нахождения размеров бака, при которых будет использовано наименьшее количество материала, необходимо определить, какие из параметров (радиус или высота) являются переменными, а какие - константами.

Объем цилиндрического бака определяется формулой V = πR^2H, где R - радиус бака, H - высота бака. У нас задан объем V = 50 м^3. Поэтому R и H - переменные параметры, а π можно считать константой.

Для упрощения решения задачи введем вспомогательную функцию S(R, H) = 2πR^2 + 2πRH, описывающую площадь всех поверхностей бака, которую необходимо покрыть материалом. Нам необходимо найти минимум функции S при условии, что V = πR^2*H = 50.

Сформулируем задачу оптимизации:
Min S(R, H) = 2πR^2 + 2πRH
при условии:
πR^2*H = 50

Прологарифмируем уравнение объема:
ln(πR^2H) = ln(50)
ln(π) + 2*ln(R) + ln(H) = ln(50)

Дифференцируем выражение для S по переменным R и H:
∂S/∂R = 4πR + 2πH = 0,
∂S/∂H = 2πR = 0.

Решив систему уравнений, найдем значения R и H:
R = sqrt(25/π) = 2,819 м
H = 50 / (π * R^2) ≈ 2,819 м

Таким образом, размеры бака должны быть равны: R ≈ 2,819 м и H ≈ 2,819 м, чтобы использовать наименьшее количество материала.