Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения двух парабол, после чего вычислить площадь фигуры, ограниченной этими параболами.

Сначала найдем точки пересечения парабол:

2x^2 + 4x - 7 = -x^2 - x + 1

Приведем квадратные уравнения в стандартную форму:

3x^2 + 5x - 8 = 0

Решив это уравнение, найдем значения x:

x = -2 или x = 4/3

Теперь найдем соответствующие значения y:

Подставим x = -2:

y = 2(-2)^2 + 4(-2) - 7 = 8 - 8 - 7 = -7

Точка пересечения при x = -2: (-2, -7)

Подставим x = 4/3:

y = 2(4/3)^2 + 4(4/3) - 7 = 32/9 + 16/3 - 7 = 32/9 + 48/9 - 63/9 = 17/9

Точка пересечения при x = 4/3: (4/3, 17/9)

Площадь фигуры, ограниченной двумя заданными параболами, можно найти вычисляя интеграл разности функций по оси x в пределах от x = -2 до x = 4/3:

S = ∫[4/3, -2] (2x^2 + 4x - 7) - (-x^2 - x + 1) dx

S = ∫[4/3, -2] (3x^2 + 5x - 6) dx

S = [x^3 + 5/2x^2 - 6x] [4/3, -2]

S = [(4/3)^3 + 5/2(4/3)^2 - 6(4/3)] - [(-2)^3 + 5/2(-2)^2 - 6(-2)]

S = [64/27 + 20/9 - 8] - [-8 - 20 + 12]

S = 128/27 + 40/9 - 8 + 8 + 20 - 12

S = 128/27 + 40/9 + 8

S = 128/27 + 160/27 + 24/27

S = 312/27

S = 104/9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными параболами, равна 104/9.