Для начала найдем длину диагонали параллелограмма ABCD.
Используем теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
12^2 = AB^2 + 10^2
144 = AB^2 + 100
AB^2 = 44
AB = 2√11

Теперь найдем длину диагонали CD:
CD^2 = BD^2 + BC^2
4^2 = 10^2 + BC^2
16 = 100 + BC^2
BC^2 = 16
BC = 4

Так как параллелограмм, по теореме Вивиана, диагонали параллелограмма друг на друга делят пополам. Тогда точка O - середина диагонали AC, то есть AO = OC = 6 см.

Теперь найдем периметр треугольника AOB, где AB = 2√11, AO = 6 см, и BO = 5 см:
Периметр треугольника AOB = AB + AO + BO = 2√11 + 6 + 5 = 2√11 + 11 ≈ 17.778 см.

Таким образом, периметр треугольника AOB составляет около 17.778 см.