Для нахождения наибольшего возможного значения выражения 1/(x+3) + 1/(y+3), нам нужно выразить одну переменную через другую из уравнения xy = 4, и подставить полученное значение в исходное выражение.

Из уравнения xy = 4 можно выразить переменную y через x:
y = 4/x

Теперь подставим это выражение в исходное:
1/(x+3) + 1/(4/x + 3) = 1/(x+3) + 1/(4/x + 3)

Упростим выражение:
1/(x+3) + 1/(4/x + 3) = 1/(x+3) + x/(4 + 3x)

Для нахождения наибольшего значения этого выражения нужно проанализировать его производную.

Производная выражения 1/(x+3) + x/(4 + 3x) равна:
d/dx (1/(x+3) + x/(4 + 3x)) = -1/(x+3)^2 + 4/(4 + 3x)^2

Приравниваем производную к нулю и находим точки экстремума:
-1/(x+3)^2 + 4/(4 + 3x)^2 = 0
-1/(x+3)^2 = -4/(4 + 3x)^2
(x+3)^2 = 4(4 + 3x)^2

Решив это уравнение, получим x ≈ -1.42.

Теперь найдем значение y:
y = 4/x ≈ -2.82.

Поскольку в условии задачи указано, что х и у должны быть положительными числами, то наибольшее возможное значение выражения 1/(x+3) + 1/(y+3) будет при x ≈ 1.5 и y ≈ 2.67.

Таким образом, наибольшее возможное значение выражения 1/(x+3) + 1/(y+3) равно приблизительно 0.653.