а) Уравнение стороны AB:
Используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки:
Уравнение прямой AB: y = mx + b
где m - коэффициент наклона, b - свободный член, x и y - координаты точек.
Найдем коэффициент наклона m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - (-2)) / (7 - 1) = 3/2
Подставим одну из точек в уравнение прямой, например, точку A(1,-2):
-2 = 3/2 * 1 + b
b = -2 - 3/2
b = -7/2
Итак, уравнение стороны AB: y = 3/2x - 7/2

б) Уравнение высоты CH:
Первым шагом найдем уравнение прямой, проходящей через точку C(3,7) и перпендикулярной стороне AB.
Коэффициент наклона перпендикулярной прямой равен -2/3 (противоположная величина и взаимно обратная наклона исходной стороны AB).
Уравнение прямой CH: y = -2/3x + b
Подставим известную точку C(3,7) в уравнение прямой:
7 = -2/3 * 3 + b
7 = -2 + b
b = 9
Итак, уравнение высоты CH: y = -2/3x + 9

в) Уравнение медианы AM:
Медиана делит сторону BC пополам. Найдем середину отрезка BC:
x_mid = (7 + 3) / 2 = 5
y_mid = (1 + 7) / 2 = 4
Точка M(5,4) - середина стороны BC.
Уравнение медианы AM проходит через точки A(1,-2) и M(5,4). Найдем коэффициент наклона и свободный член:
m = (4 - (-2)) / (5 - 1) = 1.5
Уравнение прямой AM: y = 1.5x + b
Подставим точку A(1,-2):
-2 = 1.5 * 1 + b
b = -3.5
Итак, уравнение медианы AM: y = 1.5x - 3.5

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH:
Составим систему уравнений для медианы AM и высоты CH:
y = 1.5x - 3.5
y = -2/3x + 9
Решая данную систему уравнений, найдем точку пересечения N(6,6).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB:
Уравнение прямой AB: y = 3/2x - 7/2
Прямая, параллельная прямой AB, будет иметь такой же коэффициент наклона, но другой свободный член. Проходя через точку C(3,7):
Уравнение прямой, параллельной AB: y = 3/2x - 1/2
Итак, уравнение прямой, проходящей через вершину C и параллельной стороне AB: y = 3/2x - 1/2