Для определения черности функции f(x)=2sinx×cosx нужно найти производную этой функции и определить её знак на интервалах.

f(x) = 2sin(x) * cos(x)

Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 2(cos(x)cos(x)) - 2(sin(x)sin(x))
f'(x) = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Чтобы определить знак производной на интервалах, найдём точки, в которых она обращается в ноль:

f'(x) = 0
2(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0
cos^2(x) - sin^2(x) = 0
cos^2(x) = sin^2(x)
cos(x) = sin(x)

Решение данного уравнения cos(x) = sin(x) является соотношением тождества этим, когда x принимает значения между π/4 и 5π/4.

После этого анализируем знак производной f'(x) на этих интервалах:

Для x < π/4: cos(x) > sin(x), cos^2(x) > sin^2(x), f'(x) > 0
Для π/4 < x < 5π/4: cos(x) = sin(x), f'(x) = 0
Для x > 5π/4: cos(x) < sin(x), cos^2(x) < sin^2(x), f'(x) < 0

Исходя из этого, можно сделать вывод, что черность функции f(x) = 2sin(x)cos(x) на интервалах:

Увеличивается на интервале x < π/4Сохраняется на интервале π/4 < x < 5π/4Убывает на интервале x > 5π/4