Для доказательства того, что число a=4n^3+6n^2+5n+21 делится на 3, можно воспользоваться методом доказательства по модулю.

Заметим, что любое число можно представить в виде суммы произведений своих цифр на соответствующие степени 10. Например, число 576 можно представить как 510^2 + 710^1 + 6*10^0.

Поделим число a на 3 с остатком:
a = 4n^3 + 6n^2 + 5n + 21
a = (4n^3 + 3n^2) + (3n^2 + 2n) + (3n + 18)
a = (4n^3 + 3n^2) + 3(n^2 + 2n) + 3(6n + 3)

Теперь можно заметить, что первое и второе слагаемые делятся на 3 без остатка, так как оба содержат множитель 3, а также последнее слагаемое также делится на 3 без остатка.

Таким образом, число a=4n^3+6n^2+5n+21 делится на 3 без остатка.