1) Начнем с первого неравенства:
log7(x)+log7(x+1) <= log7(2)
Применяем свойство логарифмов: log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)
log7(x(x+1)) <= log7(2)
x(x+1) <= 2
x^2 + x <= 2
x^2 + x - 2 <= 0
(x+2)(x-1) <= 0

Теперь находим корни уравнения (x+2)(x-1) = 0:
x+2 = 0 => x = -2
x-1 = 0 => x = 1

Получаем два корня: x = -2 и x = 1
Проверяем значения на интервалах:
1) x < -2: оба множителя (x+2) и (x-1) отрицательны, произведение положительно
2) -2 < x < 1: один из множителей отрицательный, произведение отрицательно
3) x > 1: оба множителя положительны, произведение положительно

Итак, решением неравенства является x ∈ (-2, 1).

2) Перепишем второе неравенство:
1 + log2(x-2) > log2(x^2-3x+2)
Применяем свойство логарифмов: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)
log2((x-2)^1) > log2((x^2-3x+2))
(x-2) > (x^2-3x+2)

Разберем по отдельности:
x-2 > x^2-3x+2
x - x^2 + 3x - 2 - 2 > 0
-x^2 + 4x - 4 > 0
x^2 - 4x + 4 < 0
(x-2)^2 < 0

Квадрат не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство не имеет решений.

3) Перепишем третье неравенство:
lg^2(x) - 2lg(x) -3 < 0
Обозначим lg(x) = z, тогда неравенство преобразуется:
z^2 - 2z - 3 < 0
(z-3)(z+1) < 0

Найдем корни уравнения (z-3)(z+1) = 0:
z-3 = 0 => z = 3
z+1 = 0 => z = -1

Аналогично предыдущим шагам:
1) z < -1: оба множителя отрицательные, произведение положительно
2) -1 < z < 3: первый множитель положительный, второй отрицательный, произведение отрицательно
3) z > 3: оба множителя положительные, произведение положительно

Итак, решением неравенства является z ∈ (-1, 3).
Обратимся к исходному обозначению: lg(x) ∈ (-1, 3).
Применяя свойство логарифмов, получаем решение: x ∈ (0.1, 1000).