Для доказательства данного неравенства воспользуемся формулой полусуммы для синуса:

sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)

Применим эту формулу к каждому из синусов в неравенстве:

sin(a/2) = 2sin(a/4)cos(a/4)
sin(b/2) = 2sin(b/4)cos(b/4)
sin(c/2) = 2sin(c/4)cos(c/4)

Учитывая, что sin(x) и cos(x) не превышают по модулю 1, можем заменить каждое выражение следующим образом:

sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2) = 8sin(a/4)cos(a/4)sin(b/4)cos(b/4)sin(c/4)*cos(c/4)

Теперь рассмотрим функцию f(x) = sin(x)cos(x) на отрезке [0, π/2], она достигает максимума при x = π/4:

f(x) = sin(x)cos(x) = (sin(2x))/2

Таким образом, f(x) ≤ 1/2 для любого x на отрезке [0, π/2].

Подставим x = a/4, b/4, c/4 в данное неравенство:

8sin(a/4)cos(a/4)sin(b/4)cos(b/4)sin(c/4)*cos(c/4) ≤ 1/8

Или:

sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2) ≤ 1/8

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2) ≤ 1/8.