Сложим все уравнения:
(a + b + c + m) + (b + c + m + n) + (c + m + n + a) + (m + n + a + b) + (n + a + b + c) = 40

2(a + b + c + m + n) = 40
a + b + c + m + n = 20

Теперь выразим значение всех переменных через сумму:
a = 20 - (b + c + m + n)
b = 20 - (a + c + m + n)
c = 20 - (a + b + m + n)
m = 20 - (a + b + c + n)
n = 20 - (a + b + c + m)

Подставляем результаты в оригинальные уравнения:
20 - (b + c + m + n) + b + c + m = 10
20 - (a + c + m + n) + c + m + n = 9
20 - (a + b + m + n) + m + n + a = 8
20 - (a + b + c + n) + n + a + b = 7
20 - (a + b + c + m) + a + b + c = 6

После подстановки и преобразований можно получить уравнение n = 1, m = 2, c = 3, b = 4, a = 10.