Для начала найдем корни уравнения при помощи дискриминанта.
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a=1, b=2(a^2-3a), c=-(6a^3-14a^2+4).

Подставляем значения:
D = (2(a^2-3a))^2 - 41(-(6a^3-14a^2+4)) = 4(a^2-3a)^2 + 24a^3 - 56a^2 + 16

Для нахождения суммы корней обозначим корни как x1 и x2:
x1+x2 = -b/a
x1+x2 = -2(a^2-3a)

Теперь найдем аналитические выражения для суммы корней и выясним, при каких значениях параметра а сумма этих корней будет максимальной.

x1+x2 = - 2a^2 + 6a

Далее найдем вершину параболы, график которой задает зависимость суммы корней от параметра а:
x = -b/(2a) = (6 - 4a) / 2

Так как у нас имеется парабола с параболической кривизной вверх, то наивысшее значение суммы корней будет располагаться в точке вершины параболы.

Имеем, что наивысшее значение суммы корней будет достигаться, когда a = 1 или a = 2.

Таким образом, значение параметра a, при котором сумма корней принимает наибольшее значение, равно 1 или 2.