Для доказательства того, что выражение [tex]\frac{n^{3}-n}{6}[/tex] при любом натуральном n является целым числом, можно воспользоваться индукцией.

База индукции: для n=1, [tex]\frac{1^{3}-1}{6} = 0[/tex], что является целым числом.

Предположение: пусть утверждение верно для n=k, то есть [tex]\frac{k^{3}-k}{6}[/tex] - целое число.

Шаг индукции: рассмотрим выражение при n=k+1:

[tex]\frac{(k+1)^{3}-(k+1)}{6}[/tex] = [tex]\frac{k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1 - k - 1}{6}[/tex] = [tex]\frac{k^{3}-k}{6} + \frac{3k^{2}+3k}{6}[/tex]

Так как по предположению [tex]\frac{k^{3}-k}{6}[/tex] - целое число, достаточно показать, что [tex]\frac{3k^{2}+3k}{6}[/tex] также является целым числом. Разделив числитель на 3, получим:

[tex]\frac{3k^{2}+3k}{6} = \frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Таким образом, если k и k+1 являются последовательными натуральными числами, то [tex]\frac{k(k+1)}{2}[/tex] является целым числом.

Итак, по индукции доказано, что [tex]\frac{n^{3}-n}{6}[/tex] при любом натуральном n является целым числом.

Воспользуемся определением квадратного корня:

[tex]\sqrt{a^{2}} = |a|[/tex]

Таким образом, [tex]\sqrt{(-2-\sqrt{5})^{2}} = |-2-\sqrt{5}|[/tex] = |-(2+sqrt{5})| = 2+sqrt{5}

Аналогично, [tex]\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}} = |2-\sqrt{5}|[/tex] = 2-sqrt{5}

Итак, [tex]\sqrt{(-2-\sqrt{5})^{2}} + \sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}} = (2+sqrt{5}) + (2-sqrt{5}) = 4[/tex]