Докажите, что при любых a и b выполняется неравенство a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4>=0
Докажите, что при любых a и b выполняется неравенство a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4>=0
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала преобразуем неравенство:
a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2 - 2ab^3 + b^4 >= 0
(a^4 + b^4) - 2a^3b - 2ab^3 + 2a^2b^2 >= 0
(a^2 + b^2)^2 - 2ab(a^2 + b^2) >= 0
Пусть x = a^2 и y = b^2, тогда неравенство примет вид:
(x + y)^2 - 2xy(x + y) >= 0
(x + y - 2xy)(x + y) >= 0
(x(1-2y) + y(1-2x))(x + y) >= 0
(1-2x)(1-2y)(x + y) >= 0
Так как x и y - это квадраты реальных чисел, то 0 <= x, y <= 1.
Таким образом, (1-2x)(1-2y) >= 0, и x + y >= 0.
Следовательно, исходное неравенство a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2 - 2ab^3 + b^4 >= 0 верно для любых a и b.