Для вычисления объема тела вращения вокруг оси ОХ необходимо воспользоваться методом цилиндров.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций:
1) [tex]y = -x^{2} + 5x[/tex]
2) [tex]y = 0[/tex]
3) [tex]x = 1[/tex]

Подставляем y=0 в уравнение 1) и находим точки пересечения:
[tex]-x^{2} + 5x = 0[/tex]
[tex]x(-x + 5) = 0[/tex]
[x = 0 \text{ или } x = 5]

Точки пересечения: (0, 0) и (5, 0)

Теперь найдем объем тела вращения вокруг оси ОХ. Для этого разобьем фигуру на бесконечно маленькие элементы и представим их в виде цилиндров.

Объем цилиндра: [tex]V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx[/tex]
где f(x) - функция, ограничивающая фигуру, a и b - точки пересечения функций.

Таким образом, объем тела вращения:
[tex]V = \pi \int_{0}^{1} ((-x^{2} + 5x))^2 dx[/tex]

[tex]V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 - 10x^3 + 25x^2) dx[/tex]

[tex]V = \pi [\frac{x^5}{5} - \frac{5x^4}{2} + \frac{25x^3}{3}] |_0^1[/tex]

[tex]V = \pi [\frac{1}{5} - \frac{5}{2} + \frac{25}{3}][/tex]

[tex]V = \pi (\frac{1}{5} - \frac{25}{2} + \frac{125}{3})[/tex]

[tex]V = \pi(\frac{3}{15} - \frac{187}{10})[/tex]

[tex]V = \pi(\frac{3}{5} - \frac{187}{10}) = \frac{3\pi}{5} - \frac{187\pi}{10} = \frac{3\pi}{5} - \frac{94\pi}{5} = -\frac{91\pi}{5}[/tex]

Ответ: [tex]-\frac{91\pi}{5}[/tex]