Для начала построим график функции y=(x+1)(x^2+7x+10)/(x+2). Для этого выразим функцию в простейшем виде:

y = x^2 + 7x + 10

График данной функции будет выглядеть следующим образом:

Теперь рассмотрим прямую y=m. Для того чтобы прямая имела с графиком ровно одну общую точку, необходимо, чтобы прямая y=m касалась графика функции y=(x+1)(x^2+7x+10)/(x+2).

Это происходит в точке перегиба графика, где производная функции равна угловому коэффициенту прямой. Найдем производную функции y=(x+1)(x^2+7x+10)/(x+2):

y' = ((3x + 7)(x + 1) - (x + 1)(x^2 + 7x + 10)) / (x + 2)^2

y' = (2x+3)/(x+2)^2

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой m:

m = (2x+3)/(x+2)^2

m(x+2)^2 = 2x + 3

Разложим квадрат слева:

m(x^2 + 4x + 4) = 2x + 3

Раскроем скобки:

mx^2 + 4mx + 4m = 2x + 3

Теперь приравняем левую и правую часть:

m = 1/2
4m = 0
4m = 3

Из этого получаем m = 1/2

Таким образом, прямая y=m будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции y=(x+1)(x^2+7x+10)/(x+2) при m = 1/2.