Для того чтобы уравнение $ax^2+x+1=0$ имело ровно один корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант уравнения $ax^2+x+1=0$ равен $D = 1 - 4*a$. Чтобы иметь ровно один корень, $D = 0$.

Таким образом, $1 - 4*a = 0$ или $a = \frac{1}{4}$

Подставляя $a = \frac{1}{4}$ в уравнение $ax^2+x+1=0$ получаем новое уравнение $\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = 0$

Его решение можно найти с помощью дискриминанта или других методов. Например, используя формулу квадратного уравнения:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{0}}{2 * \frac{1}{4}} = -2$

Таким образом, при $a = \frac{1}{4}$ уравнение $ax^2+x+1=0$ имеет ровно один корень, который равен $x = -2$.