Разделим числитель и знаменатель на x^a*x^b = x^(a+b):
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{(1+\frac{a}{x})^{x+a}(1+\frac{b}{x})^{x+b}}{(1+\frac{a+b}{x})^{2x+a+b}}[/tex]

После этого в числителе и знаменателе у нас будет (1+ a/x)^(x+a) (1 + b/x)^(x+b) = e^a e^b = e^(a+b) и (1 + a+b/x)^(2x+a+b) = e^(2a + 2b) соответственно.
Получаем, что предел равен e^(a+b) / e^(2a+2b) = e^(a+b-2a-2b) = e^(-a-b) = 1 / e^(a+b).
Ответ: 1 / e^(a+b)