Для доказательства того, что уравнение x⁴-4x+5=0 не имеет решений, можно воспользоваться методом анализа знаков.

Рассмотрим функцию f(x) = x⁴-4x+5. Для начала найдем производные этой функции:
f'(x) = 4x³ - 4
f''(x) = 12x²

Теперь анализируем поведение функции при изменении знака производной.

Для x < -1:
f''(x) > 0, следовательно, функция f(x) убывает до точки x = -1, затем возрастает.
f(-1) = 10Для -1 < x < 0:
f''(x) < 0, следовательно, функция f(x) возрастает на этом отрезке.
f(0) = 5Для x > 0:
f''(x) > 0, следовательно, функция f(x) возрастает на этом отрезке.

Итак, у нашей функции f(x) нет корней, так как она убывает до точки x = -1, затем возрастает, и минимальное значение равно 5. Поэтому уравнение x⁴-4x+5=0 не имеет решений.