Для нахождения производной данной функции, воспользуемся формулой производной функции вида [tex]y=u^v[/tex]:

[tex]y'=(e^{v\ln{u}})'=e^{v\ln{u}} \cdot ((v\ln{u})')=e^{v\ln{u}} \cdot (v\frac{u'}{u}+\ln{u}\cdot v')[/tex]

Подставляя [tex]u=x[/tex] и [tex]v=ctgx[/tex], получаем:

[tex]y'=(e^{ctgx\ln{x}})'=e^{ctgx\ln{x}} \cdot ((ctgx\ln{x})')=e^{ctgx\ln{x}} \cdot (ctgx\frac{(\ln{x})'}{\ln{x}}+\ln{x}\cdot ctgx')[/tex]

Далее вычисляем производные выражений [tex]ctgx\frac{(\ln{x})'}{\ln{x}}[/tex] и [tex]\ln{x}\cdot ctgx'[/tex]:

[tex]ctgx\frac{(\ln{x})'}{\ln{x}}=ctgx\frac{1}{x\ln{x}}[/tex]

[tex]\ln{x}\cdot ctgx'=-ctgx\ln^2{x}[/tex]

Подставим эти значения обратно в формулу производной функции и упростим:

[tex]y'=x^{ctgx}\left(ctgx\frac{1}{x\ln{x}}-\ln^2{x}\cdot ctgx\right)[/tex]

Получаем производную данной функции.