Сначала объединим sin5x и -sin7x, а также sin6x и sin8x:
(sin5x - sin7x) - (sin6x - sin8x)

Теперь используем формулу разности синусов:
2sin(-x/2)cos((5x + 7x)/2) - 2sin(7x/2)cos((6x + 8x)/2)

= 2sin(-x/2)cos(6x) - 2sin(7x/2)cos(7x)

Далее, использовать формулу разности синуса и косинуса:
2(sin(-x/2)cos(6x) - sin(7x/2)*cos7x)

Итак, Sin5x-sin6x-sin7x+sin8x = 2(sin(-x/2)cos(6x) - sin(7x/2)*cos7x)