Для начала, перепишем уравнение в виде:
4cos(2x) + 4sin(x) - 1 = 0

Заметим, что мы можем представить cos(2x) через sin(x) при помощи формулы:
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Подставим это в уравнение:
4(1 - 2sin^2(x)) + 4sin(x) - 1 = 0
4 - 8sin^2(x) + 4sin(x) - 1 = 0
-8sin^2(x) + 4sin(x) + 3 = 0

Теперь можем решить это уравнение при помощи метода решения квадратных уравнений. Проводим замену sin(x) = y:
-8y^2 + 4y + 3 = 0

Далее решаем это уравнение как квадратное:
D = 4^2 - 4(-8)3 = 16 + 96 = 112
y = ( -4 ± √112 ) / -16
y = ( -4 ± 2√7 ) / -16
y1 = ( -4 + 2√7 ) / -16
y2 = ( -4 - 2√7 ) / -16

Итак, получили значение y. Теперь подставим обратно sin(x):
sin(x) = ( -4 + 2√7 ) / -16 = ( 4 - 2√7 ) / 16
x = arcsin( ( 4 - 2√7 ) / 16 ) + 2πk, где k - целое число

sin(x) = ( -4 - 2√7 ) / -16 = ( 2 + √7 ) / 16
x = arcsin( ( 2 + √7 ) / 16 ) + 2πk, где k - целое число

Итак, мы получили общие решения уравнения 4cos(2x) + 4sin(x) - 1 = 0.