Для начала приведем уравнение к виду, удобному для решения:

x + 3 = x^2(x + 3)

x + 3 = x^3 + 3x^2

Переносим все члены в левую часть, чтобы уравнение приняло вид равенства нулю:

x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0

Подставляем наше уравнение в качестве, используя замену y = x + 1, и перепишем уравнение в терминах y для упрощения:

y^3 - y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение.

Для этого воспользуемся методом Ньютона. Проведем несколько итераций для приблизительного нахождения корня:

Начнем с приблизительного значения y = 1:

y_{n+1} = y_n - \frac{f(y_n)}{f'(y_n)}

f(y) = y^3 - y - 1

f'(y) = 3y^2 - 1

Подставляем y = 1 в формулу для y_{n+1}:

y_{1} ≈ 1 - (1^3 - 1 - 1) / (3 * 1^2 - 1) = 1 - (1 - 1 - 1) / (3 - 1) = 1

Повторяем процесс для y = 1:

y_{2} ≈ 1 - (1^3 - 1 - 1) / (3 * 1^2 - 1) = 1

Значит, корень уравнения y = 1.

Теперь находим x:

y = x + 1

1 = x + 1

x = 0

Теперь найдем сумму квадратов корней:

(0)^2 + (1)^2 = 0 + 1 = 1

Ответ: Сумма квадратов корней уравнения x + 3 = x^2(x + 3) равна 1.