x^3 + 3x^2 - 2x - 2 < 0

Сначала найдем корни уравнения x^3 + 3x^2 - 2x - 2 = 0. Можно заметить, что при подстановке x = 1 получается 0. Разделим уравнение на (x-1):

(x-1)(x^2 + 4x + 2) = 0

Корни квадратного уравнения x^2 + 4x + 2 равны (-2 ± √6). Таким образом, корни исходного уравнения x^3 + 3x^2 - 2x - 2 = 0 - это 1, (-2 + √6) и (-2 - √6).

Теперь построим знаки функции x^3 + 3x^2 - 2x - 2 между корнями. Подставим в него точки из интервалов (-∞, -2 - √6), (-2 - √6, 1), (1, -2 + √6), (-2 + √6, +∞):

(-3): отрицательное(0): положительное(1.5): положительное(2): отрицательное

Таким образом, неравенство x^3 + 3x^2 - 2x - 2 < 0 верно для x из интервала (-2 - √6, 1).

x^3 - 4x^2 + x + 6 ≥ 0

Аналогично, найдем корни уравнения x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0. Путем проб и ошибок можно найти корни 3, -2 и 1. Построив знаки функции, получаем, что неравенство x^3 - 4x^2 + x + 6 ≥ 0 верно для x из интервалов (-∞, -2), (1, 3].

x^4 - 15x^2 - 10 - 24 ≥ 0

Преобразуем данное неравенство: x^4 - 15x^2 - 34 ≥ 0. Обозначим x^2 = y и решим квадратное уравнение: y^2 - 15y - 34 ≥ 0. Найдем корни и построим знаки функции, а затем вернемся к переменной x, учитывая ограничение x^2 ≠ 0.

2x^3 - 3x^2 + 5x + 4 ≤ 0

Можно попробовать воспользоваться методом интервалов убывания и возрастания функции, найдя ее экстремумы, но будет проще внимательно проанализировать знаки многочлена при разных значениях x. В данном случае, неравенство верно для x из интервала [-2, 1].